Capitole speciale de algebra

Cartea pe care o prefatam, intitulata „Capitole speciale de algebra”, scrisa de cunoscutul profesor botosanean Ioan Baetu impreuna cu fiul sau, studentul iesean Ciprian Baetu, este o lucrare cu totul speciala, facand o nota aparte in publicistica matematica scolara. Aceasta lucrare reprezinta o incursiune originala si profunda in studiul catorva structuri algebrice finite (grup, inel, corp), studiu ale carui baze se pun inca din liceu. Totodata, ea continua si finalizeaza unele cercetari mai vechi ale primului autor, cuprinse in cartea acestuia „Structuri finite”, Ed. „Axa” Botosani, 2005. Structura cartii de fata consta in sapte capitole, dintre care sase sunt teoretice si unul aplicativ, fiind alcatuit din probleme. Le vom analiza pe rand.

Capitolul I, intitulat „Grupuri finite” contine in esenta rezultate legate de comutativitatea grupurilor finite. Retinem teorema 1. 5 (ecuatia claselor), propozitia 1. 9 (grupurile de ordin p2, p prim, sunt abeliene), teorema 1. 12 (caracterizeaza grupurile abeliene de ordin liber de cuburi), dar si teorema 2. 10 (un rezultat mai restrictiv, de tipul teoremei 1. 12, pentru grupurile de ordin p3, p prim).

Capitolul II, „Inele de polinoame”, stabileste mai intai cateva rezultate de baza despre polinoame, din care retinem propozitia 1. 1 (extinderea teoremei impartirii cu rest la inele de polinoame cu coeficienti intr-un inel comutativ), teorema 1. 5 (un polinom de grad n peste un corp comutativ are n radacini intr-o anumita extindere a acestui corp), apoi investigheaza polinoamele cu radacinile de acelasi modul si aici retinem teorema 2. 3 (arata o „reciprocitate ponderata” a coeficientilor acestor polinoame), in fine, studiaza conditii suficiente ca un polinom sa aiba toate radacinile reale (teoremele 3. 8, 3. 9).

Capitolul III, „Inele”, abordeaza extinderi finite de corpuri, extinderi algebrice de tipul inel peste un corp comutativ si retinem aici propozitia 1. 3 (relatia gradelor), teorema 3. 9 (orice subgrup multiplicativ finit format cu elemente nenule ale unui domeniu de integritate este ciclic), teorema 3. 16 (intr-un domeniu de integritate de caracteristica p prim, cu un numar finit de unitati, unitatile impreuna cu 0 constituie un corp), propozitia 3. 18 (variatiune pe tema teoremei 3. 16), propozitia 4. 4 precum si teorema 4. 7 (un inel de cardinal impar, in care unitatile impreuna cu 0 constituie un corp este el insusi un corp).

Capitolul IV, „Corpuri finite”, studiaza automorfismele unui corp finit si retinem teorema 1. 6 si propozitia 1. 7 (intr-un corp cu pn elemente, p prim, automorfismele formeaza un grup ciclic de ordin n, generat de automorfismul lui Frobenius), puterile de exponent prim ale elementelor unui corp finit si aici retinem teorema 2. 3, precum si teoremele „de reprezentare” 2. 13 si 2. 14.

Capitolul V, „Caracterizarea corpurilor finite folosind ecuatiile algebrice” studiaza mai intai grupul unitatilor unui inel obtinut prin adjunctia la corpul p a unui element algebric (dintr-un suprainel al lui p ) si notam aici teoremele 1. 4 si 1. 5, apoi stabileste caracterizarea de care vorbeste titlul capitolului prin teoremele 2. 4, 2. 8, 2. 9, 2. 10 (un inel finit de caracteristica p prim si cardinal pn, n prim, este corp daca si numai daca exista un element al inelului ce verifica un anumit polinom cu toti coeficientii egali cu 1). In cartea citata din anul 2005, primul autor reusise aceste rezultate doar pentru n apartine{2, 3, 5}.

Capitolul VI, intitulat „Radacinile unitatii unor corpuri de numere” investigheaza grupul format din radacinile unitatii continute in corpuri patratice, in corpuri bipatratice si mai general, in corpuri obtinute prin adjunctia la corpul radacinilor patratice din niste numere prime intregi (in numar finit). Rezultatele obtinute sunt spectaculoase si constituie suportul teoremelor 1. 6, 1. 7, 2. 14, 3. 15 (in esenta, aceste grupuri sunt de tipul Ud, unde d este un divizor natural al lui 24). Capitolul ne retine atentia si prin cateva rezultate „colaterale” cum ar fi teoremele de ireductibilitate 2. 7, 2. 8, propozitia 2. 9 (da gradul unei anumite extinderi a corpului ) sau teorema 3. 10 (radacinile patrate ale numerelor naturale impare apartin unor corpuri ciclotomice).

In fine, capitolul VII, „Aplicatii”, contine 50 de probleme grele dar reprezentative, insotite de solutii detaliate. O buna parte din aceste probleme a facut obiectul fazelor superioare (judeteana, nationala) ale olimpiadei de matematica, dar multe probleme sunt originale. Autorii cartii au indicat paternitatea tuturor problemelor, ceea ce constituie un act de onestitate si recunostinta. Prezentarea materialului cuprins in aceasta carte este in buna parte originala, autorii reusind sa trateze intr-un mod personal chestiuni de mare finete si frumusete legate de structuri algebrice finite. De altfel, „finitudinea” este laitmotivul lucrarii. Aceasta carte este, inainte de toate, un opus stiintific. Dar este de luat in seama si aspectul didactic, dat mai ales de ultimul capitol (de probleme), dar si de stilul extrem de relevant, cu formulari clare si demonstratii sau solutii detaliate. Lectura acestei carti poate fi anevoioasa, dar cu siguranta va fi una plina de satisfactii, pentru ca acel cititor ce va avea tenacitatea sa o intreprinda, va dobandi cunostinte de algebra deosebite. Cartea se adreseaza profesorilor, studentilor, cercetatorilor, dar si elevilor foarte buni, care se pregatesc pentru olimpiade sau alte competitii. Toata admiratia pentru aceasta realizare de exceptie a celor doi autori si intreaga gratitudine editurii TAIDA din Iasi, care face un act de cultura prin publicarea acestei carti!